Pliages de papier
Matériel: Jurassic Park, chou romanesco, pomme de pin, chou-fleur, grande feuilles de papier.
1. Pliage de papier: codage en ^ et v
- étape 1: v étape 2: vv^
étape 3 : vvvv^
Que se passe-t-il si on code un grand nombre de fois? Que voit-on à l'étape n?
2. Pliage de papier; dépliage à angle droit.
- le faire qu'observe-t-on? où va-t-on à l'étape n? peut-on décrire le codage en NSEO? Lien avec le précédent?
Quelques idées:
- passer en complexes essayer d'écrire facilement l'étape n est-ce qu'il y a une forme limite à l'infini? Qu'est-ce que ça veut dire? utiliser des ordinateurs
Quelques autres idées:
- que ce passe-t-il si on ne plie pas toujours dans le même sens? Si on ne tourne pas à angle droit? Est-ce qu'on remplit le plan avec ce type de formes? (soit C, soit Z^2 suivant ce qu'on considère) est-ce que la courbe se recoupe?
3. D'autres formes limites
L'ensemble de Cantor:
- définition expression arithmétique auto-similarité quelle dimension? Dimension de similarité. Comment mesurer une dimension? (dimension de Hausdorff, dimension de boîte)
variations sur Cantor
d'autres exemples: la courbe de Von Koch; Est-ce bien une courbe? mais alors, quelle est sa longueur? , le tapis de Serpinski. Peut-on les dessiner?
utiliser un ordinateur; peut-on partir d'un ensemble, et en faire des répliques de plus en plus petites? Est-ce que, pour une recette donnée, le point de départ change quelque chose? (fabriquer une suit d'ensembles E_n et chercher si elle a une limite en un sens raisonnable)
4. Fractals
- def: la dimension de Hausdorff n'est pas la dimension "normale"
Remarque générale: les fractals ont été inventés comme "monstres" pour des problèmes d'analyse délicats (premier cas: l'ensemble de Cantor). Depuis, on les voit partout (Choux-fleur, Romanesco). Il en est de même de bien des phénomènes: tant qu'on ne les connaît pas, on ne les voit pas; quand on les connaît, on les voit partout: hélices sur Pomme de pin, Ananas, Romanesco...
5. Dynamique
idée d'itération d'une fonction: suites définies par récurrence.
- Le cas linéaire: une dimension, deux dimensions...
Le cas non linéaire: croissance démographique x-->ax(1-x) : ce qui se passe Le cas non linéaire: z-->z^2+c ensembles de Julia, ensemble de Mandelbrot, un peu d'histoire; parler de Hubbard et de ses films.
IFS; retour sur les ensembles précédents.
6 Conclusion
la question n'est pas vraiment "à quoi ca sert", mais comment ça change notre vision du monde, comme les nombres négatifs ou la dérivée.
on peut aller voir sur wikipedia (mais ce n'est pas le but du stage!).