Flots sur les surfaces et caractéristique
Définitions
Flots: Un flot peut être assimilé à un courant sur une surface, dans le cas étudié, nous avons étudié les possibilité de "flots" sur une sphère pour que ces courants ne se contrarient pas. Il faut pour cela qu'il y ait un courant continuel sur la sphère, dans certains cas, il apparaît une singularité.
Singularités : les singularités sont des points sur la sphère où il n'y aura pas de courant. On part du principe qu'il y a, sur une sphère, au moins 1 point ou il n'y a pas de courant.
Nous avons tenté de trouver des cas sans singularités, et c'est, en effet, impossible.
On a parlé, pour imager le phénomène du théorème de la boule chevelue, qui dit que, sur une tête, il y a toujours au moins un point sur cette tête où il se trouve un épi, cet épi représente notre singularité.
Voici quelques exemples de singularités étudiées. On trouve au côté des schémas de singularité un chiffre, ce chiffre est la multiplicité (voir plus bas) de la singularité représentée.
Multiplicité : la multiplicité, peut être assimilée à l'ampleur ou la puissance de la singularité... La relation entre ces singularités et la caractéristique d'Euler-Poincaré [Thème étudié lors du stage hippoccampe] est que, la somme des multiplicités des singularités présentes sur la sphère, correspondent à sa caractéristique d'Euler-Poincaré.
Voici, sur les images suivantes, une sphère avec 2 singularités, ces deux singularités ont une multiplicité de 1, la somme des deux donne donc 2 qui est en effet la caractéristique d'Euler-Poincaré d'une sphère.
Sommes de multiplicités
Comme dit précédemment, la somme des multiplicités est égale à la caractéristique d'Euler-Poincaré, mais, en partant de cette hypothèse, nous avons travaillé sur cette addition des multiplicités pour savoir s'il était possible d'intégrer une singularité dans une autre.
Prenons comme exemple la singularité à multiplicité 0 qui est, finalement, un courant simple. Si, à l'intérieur de ce courant simple, nous insérons des singularités, pouvons-nous retomber sur ce nombre 0 ? Voici, ci-dessous l'exemple un peu barbare que nous avons découvert pour prouver cette hypothèse, nous trouvons dans le dessin qui suit, 2 singularités de type Selle et de multiplicité -1 ainsi que 2 singularités de type Tourbillon et de multiplicité 1.
Donc 2(-1)+2(1) = -2+2 = 0 Donc la somme des multiplicités est de 0. Le système fonctionne.
De ce fait, nous avons appliqué cette combinaison de singularités à notre sphère de caractéristique d'Euler-Poincaré de 2 avec le dessin suivant.
On a, comme écrit sur l'image, 6 singularités de type Selle à multiplicité -1 et 8 singularité de type Tourbillon à multiplicité 1. -6+8=2
Visualisation des flots sur polyèdre non convexe
Tout ce qui a été vu précédemment concernait la sphère, qui est la représentation la plus simplifiée de tous les polyèdres convexes. Pour ce qui est des polyèdres non convexes.
Tore
La forme la plus simple est le tore ou "le donuts". La caractéristique d'Euler-Poincaré de ce polyèdre est 0, de ce fait, nous devrions pouvoir appliquer à ce tore, un courant continu qui en fasse le tour, c'est ce que nous voyons effectivement sur l'image suivante.
Double tore
Pour ce qui est du double tore, sa caractéristique d'Euler-Poincaré est -2, de ce fait, il sera présent sur ce tore deux singularités de type Selle à multiplicité -1. Comme sur le dessin suivant, nous avons une singularité de type Selle sur la face visible, et nous avons sa jumelle sur la face cachée.
Triple tore
On peut alors rajouter au double tore une autre "boucle" en ajoutant -2 à sa caractéristique d'Euler-Poincaré et en ajoutant 2 Selles à sa représentation, comme sur le dessin suivant, on pourrait s'imaginer des tores à 4,5,6,...,n boucles...
Poster
