==  Définition axiomatique de la caractéristique  ==



===  Poster  ===

[[attachment:Stages/2010-10-04/axiomes.jpg|{{attachment:Stages/2010-10-04/axiomes.jpg|axiomes.jpg|width=1000}}]]

- '''Les fondamentaux des axiomes de χ''' <BR> <BR> <BR> 
[[attachment:Stages/2010-10-04/applications.jpg|{{attachment:Stages/2010-10-04/applications.jpg|applications.jpg|width=500}}]] <BR> <BR> 
On considère : <BR> 
'''χ(-)= 1''' et '''χ(--)= 2''' , en prenant " - " est un segment .<BR> <BR> 
Mais pour χ(O)? ''( Le O étant un cercle )''
'''χ(A∪B)= χ(A)+ χ(B)- χ(A∩B)'''= 1 + 1 - 2 = '''0'''               ''( voir schéma )'' <BR> <BR> 
Et pour χ(∞) ?<BR> 
'''χ(A)= 0''' et '''χ(B)= 0''' et '''χ(A∩B)= -1''' .<BR> 
Donc '''χ(∞)= -1''' .        ''( voir schéma )''<BR> <BR> 
Prenons un autre exemple , celui d'un début de collier . ''( voir schéma )'' <BR> 
Puisque '''χ(O O)= 0''' , '''χ(-)= 1''' et '''χ(> <)= -2''' , alors d'après le second axiome :<BR> 
'''χ(A∪B)= χ(A) + χ(B)- χ(A∩B)'''= 0 + 1 - 2 = '''-1''' . <BR> <BR> <BR> <BR> 



- '''Problème de récurrence'''


Le calcul établi lors du paragraphe ci-dessus peut-il s'appliquer pour n éléments ?

Grâce au principe de récurrence et aux axiomes nous pouvons établir pour n objets A1, A2,..., A(N) la relation  suivante où χ désigne khi :
''χ(A1 U A2 U...U A(N)) = χ(A1)+ χ(A2) +...+ χ(A(N))''.

Intéressons-nous maintenant à __la caractéristique d'Euler sur les colliers__ :  -(désigne un segment), O (désigne un cercle), }{ (désigne les intersections entre cercles et segments).
     
Le collier se présente sous la forme notée C : O}-{O}-{...}-{O}-{O avec n cercles
qui est composé de cercles notés A : O O O ... O O O n cercles disjoints où grâce aux axiomes χ(A)=0,  de segments disjoints notés B : - - - ... - - - n-1 segments où χ(B)=n-1, d'intersections A∩B : { } { } { } ... { } { } { } 2(n-1) intersections où χ(A∩B)=2(n-1).
                            
χ(C)=χ(A∪B) donc 
χ(A∪B)=χ(A)+χ(B) χ(A∩B)=0+n-1-(2(n-1))='''1-n ''' 

       

- '''Colliers & Courbes'''<BR> <BR> <BR> 
En ce qui concerne '''les Colliers''' et '''les Courbes''' nous avons pu voir qu'à partir de figures composées de ''cercle'' et de ''trait'' ( segments ) , nous pouvons retrouver une ''structure de la forme d'un collier'' et ainsi pouvoir ''calculer la caractéristique'' de '''χ''' ( Khi ) toujours à partir de l'axiome :
'''χ(A∪B)= χ(A)+ χ(B)- χ(A∩B)'''.<BR> <BR> 
[[attachment:Stages/2010-10-04/colliers.jpg|{{attachment:Stages/2010-10-04/colliers.jpg|colliers.jpg|width=350}}]]<BR> <BR> 
Sur cette image , on peut constater que si l'on fait glisser les traits sur les cercles , on finit par former ce que l'on appelle une structure ''collier'' . Il est par contre important de préciser que l'on '''ne doit absolument pas déchirer ou casser quelque chose''' lorsque l'on modifie la structure de la figure ( faire glisser les éléments entre eux ne casse pas la liaison qu'ils entretiennent ).<BR> 
Ayant au final , une structure '''"collier"''' , nous pouvons maintenant calculer la caractéristique de '''χ''' en considérant que : '' 
A correspond aux cercles , B correspond aux traits et (A∩B) correspond aux intersections . <BR> 
Nous pouvons donc dire que : <BR> 
'''χ(A∪B) = χ(A)+χ(B)-χ(A∩B)''' <BR> 
χ(A∪B) = 6 (cercles) + 5 (segments) - 10 (intersections)= 6x0 + 5x1 - 10 = '''-5'''<BR> 
Puisque ''χ(cercle)= 0 ''et ''χ(segment)= 1''.<BR> <BR> 
[[attachment:Stages/2010-10-04/courbes.jpg|{{attachment:Stages/2010-10-04/courbes.jpg|courbes.jpg|width=350}}]] <BR> <BR> 
Cette figure reprend le même procédé en partant simplement d'une structure , d'une forme de départ différente. <BR> <BR>